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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Verteilung von|X-Y| bestimmen
Verteilung von|X-Y| bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verteilung von|X-Y| bestimmen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Fr 02.07.2010
Autor: kegel53

Aufgabe
Es seien X und Y unabhängig und jeweils Bernoulli-verteilt mit Parameter [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] d.h. [mm] P[X=0]=P[X=1]=P[Y=0]=P[Y=1]=\bruch{1}{2}. [/mm]

(a) Wie ist X+Y verteilt?
(b) Wie ist |X-Y| verteilt?
(c) Sind X+Y und |X-Y| unabhängig?

Tag Leute,
also ich hab bisher die folgenden Überlegungen angestellt.

zu (a): Es gilt:
            [mm] P[X+Y=0]=P[X=0,Y=0]=P[X=0]\cdot{}P[Y=0]=\bruch{1}{4} [/mm]
            [mm] P[X+Y=1]=P[X=1,Y=0]+P[X=0,Y=1]=\bruch{1}{2} [/mm]
            [mm] P[X+Y=2]=P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{4} [/mm]

zu (b): Es gilt:
           [mm] P[|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]+P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{2} [/mm]
           [mm] P[|X-Y|=1]=P[X=0,Y=1]+P[X=1,Y=0]=\bruch{1}{2} [/mm]

zu (c): Die beiden Zufallsvariablen X+Y und |X-Y| sind nicht unabhängig, da z.B. gilt
          [mm] P[X+Y=0,|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]=\bruch{1}{4}\not=\bruch{1}{8}=P[X+Y=0]\cdot{}P[|X-Y|=0] [/mm]


Ist das alles so richtig oder was könnte man noch verbessern??
Besten Dank schon mal!
          
        
Bezug
Verteilung von|X-Y| bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:45 Fr 02.07.2010
Autor: steppenhahn

Hallo!

> Es seien X und Y unabhängig und jeweils Bernoulli-verteilt
> mit Parameter [mm]\bruch{1}{2},[/mm] d.h.
> [mm]P[X=0]=P[X=1]=P[Y=0]=P[Y=1]=\bruch{1}{2}.[/mm]
>  
> (a) Wie ist X+Y verteilt?
>  (b) Wie ist |X-Y| verteilt?
>  (c) Sind X+Y und |X-Y| unabhängig?
>  Tag Leute,
>  also ich hab bisher die folgenden Überlegungen
> angestellt.
>  
> zu (a): Es gilt:
> [mm]P[X+Y=0]=P[X=0,Y=0]=P[X=0]\cdot{}P[Y=0]=\bruch{1}{4}[/mm]
>              [mm]P[X+Y=1]=P[X=1,Y=0]+P[X=0,Y=1]=\bruch{1}{2}[/mm]
>              [mm]P[X+Y=2]=P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{4}[/mm]

[ok]
Allgemein gilt: Die Summe von n Bernoulli-verteilten unabhängigen ZVA ist binomialverteilt mit p = 1/2 und n = n.
Du kannst also explizit noch den Namen der Verteilung angeben!

> zu (b): Es gilt:
> [mm]P[|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]+P[X=1,Y=1]=\bruch{1}{2}[/mm]
>             [mm]P[|X-Y|=1]=P[X=0,Y=1]+P[X=1,Y=0]=\bruch{1}{2}[/mm]

[ok]
Name der Verteilung?

> zu (c): Die beiden Zufallsvariablen X+Y und |X-Y| sind
> nicht unabhängig, da z.B. gilt
>            
> [mm]P[X+Y=0,|X-Y|=0]=P[X=0,Y=0]=\bruch{1}{4}\not=\bruch{1}{8}=P[X+Y=0]\cdot{}P[|X-Y|=0][/mm]

Alles okay. :-)

Grüße,
Stefan
Bezug
                
Bezug
Verteilung von|X-Y| bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Fr 02.07.2010
Autor: kegel53

Vielen Dank für den Hinweis mit dem Namen der Verteilung!
Bezug
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